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第八章 复数

第八章 复数

同步教育信息
一. 本周教学内容:
  第八章 复数
  §8.1 数的概念的发展 §8.2 复数的有关概念 §8.3 复数的向量表示

二. 重点、难点:
 1. 数的概念的发展:
  数的概念的产生、发展源自社会实践的需要,且经历了漫长的历程。最早,由于计数的需要,人们建立起了自然数的概念(自然数的全体构成了自然数集N),为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求,人们又引进了零以及负数。(此时,自然数被看成正整数,而把正整数、零、负整数合并在一起,构成了整数集Z)
  为了解决测量、分配中遇到的把某些量等分的问题,人们又引进了分数,即形如
  为了解决有些量与量之间的比值不能用分数(即有理数)来表示的矛盾,人们又引进           

  数的概念的发展远未停止。
  为了满足研究方程的需要,(数学的内部需要),人们又引进了一种新的数——虚数。事实上,解方程的需要也是促进数的概念不断发展的重要动力。例如,方程x+5=3在自然数集N中无解,而在扩充后的整数集Z中则有解;方程2x=5在整数集Z中无解,而在扩充后的有理数集Q中则有解;方程x2 = 2在有理数集Q中无解,但在实数集R中则有解。
  新的问题:x2 + 1 = 0在实数集R中无解,为解决这个方程有解的问题,人们引进了一个新数i,(虚数单位),对i作出如下规定:
  (1)i2 = -1;(2)实数与i可进行四则运算,且进行四则运算时,原有的加法,乘法算律仍然成立。如此以来,就出现了abiabR)的数。人们就把形如abi的数叫做复数。而全体复数构成的集合称为复数集。记作C。(英文Complex number 的第一个字母)
  至此,复数的引入已很好地解决了实数集内一元二次方程无解的矛盾。
 2. 复数的有关概念:

  (既然规定了复数相等,那么自然会有两个复数不等的情形。容易想到实数集内不等的两个数是有大小关系的,那么在复数集C中不等的两个复数是否也有大小关系呢?可惜的是在复数集内难以按照通常意义上的大小关系对两个复数作出规定,也就是说,在复数集内不能规定两个复数的大小,当然对复数集内的两个实数,是可以按照原有的实数的大小关系来进行比较的。)
  (4)共轭复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数时,则称它们互为共轭复数。如3+i与3-i互为共轭复数。
  特殊地,一个实数a的共轭复数是它本身。如3的共轭复数为3。
  (若一个复数的共轭复数是它本身,则这个数是否一定是实数呢?)
  (5)复数的表示方法:
  (i)把a+bi(a,b∈R)称为复数的代数表示方法。
  (ii)注意到任何一个复数a+bi都与一个有序数对(a,b)一一对应。而有序数对的集合M在引进直角坐标系后,与平面上的点集之间也是一一对应的。这样以来,复数也可以用复平面上的点来表示。例如,复数z=3+2i可用复平面上的点Z(3,2)来表示,这种表示复数的方法称为复数的几何表示。(数形结合的基础)
  (iii)复数的向量表示:

  复数的模的性质:

  通过学习,要了解引入虚数的原由,即数集扩充的必要性;要掌握复数的几种表示方法,并能在此几者之间熟练转换;掌握复数的基本概念,对每一个新名词要切实理解其涵义,以保证今后能正确使用它进行表述。

典型例题

  根据下列条件,求m值。
  (1)z是实数;(2)z是虚线;(3)z是纯虚数;(4)z=0。
  解:


  注:对于本题,只要概念清晰,就能顺利地列出以上各式,求出m值。

 例2.
  分析:
  共轭复数的涵义是:实部相等,而虚部互为相反数的两个复数。解此题,首先确认给定两个复数的实部、虚部,再按照共轭复数的定义列出关于x、y的方程组,进而求得x、y,从而z及可得。
  解:



  (1)求实数z;(2)求纯虚数z。
  分析:
  回想复数的模的定义及算法,以及纯虚数的涵义,则易列出关于确定复数z的a,b的方程组,进而求出z。



  注:以上解法是利用复数相等的条件,把复数问题转化为实数问题求解的,也就是说,“复数相等”是“由虚化实”的桥梁。另外,注意到本题的条件式的特征,含有z、|z|,其他项为已知数,若能求出|z|,代入已知等式,则也能求出z。为此,需考虑复数模的性质作变形。


  分析:
  欲求a的取值范围,则需利用条件|z1| > |z2|,列出关于a的不等式,但不等式中除了含a外,还含有x,因此应消去x。如何消x?不妨先尝试把这之前的工作做一下,再结合当时情形选择方法。




模拟试题
一. 选择题。
 1. 若C、R、I分别表示复数集、实数集、纯虚数集(C为全集),则下列各式正确的是( )

 2. 在复平面内,与z=-1-i的共轭复数对应的点位于( )
  A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

  A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要


二. 填空题。




试题答案
一. 选择题。
 1. D   2. B   3. B   4. D   5. B
二. 填空题。


三. 解答题。

 

 



 

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