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§4.5 正弦、余弦的诱导公式

§4.5 正弦、余弦的诱导公式
§4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切

【同步教育信息】
一. 本周教学内容:
 1. 内容:高中数学第一册(下)
  §4.5 正弦、余弦的诱导公式
  §4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切(1)
 2. 目标:
  (1)要使学生掌握正弦、余弦的诱导公式,能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦值,以及进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明;能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,提高分析和解决问题的能力;
  (2)要使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦公式,能正确运用这些公式进行简单三角式的化简、求值和恒等式的证明;了解上述和(差)角公式的推导体系以及余弦的和角公式的证明;了解并记忆平面内两点间的距离公式,培养运算能力、逻辑推理能力以及辨证唯物主义观点。

二. 重点、难点:
  重点:
  (1)四组诱导公式,以及这四组诱导公式和第4.3节的第一组诱导公式的综合运用。
  (2)正弦、余弦的和(差)角公式。
  难点:
  (1)把五组诱导公式用一句话归纳出来,并切实理解这句话中每一词语的含义;
  (2)余弦的和角公式的推导,以及正弦、余弦的和(差)角公式的综合运用。

  学法指导:
  五组诱导公式可概括为:

是锐角。在应用诱导公式求任意角的三角函数时,应注意公式的选择。
  利用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤:
  (1)用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数;
  (2)用公式一将大于360o角的三角函数化为0o到360o间角的三角函数;
  (3)用公式二、四、五将大于90o角的三角函数化为0o到90o间角的三角函数;
  (4)得到0 o到90 o间角的三角函数后,对于是特殊角的可直接求值,对于非特殊角的三角函数值查数学用表即可求得。

  两角和(差)的正弦、余弦公式应熟记公式特点。对于公式的特点,应进行对比记忆:两角和(差)的余弦——余余、正正符号异,两角和(差)的正弦——正余、余正符号同, 变用和活用,整体把握好角、名、形。

上,这样便于正确地写出这些角的终边与单位圆交点的坐标,然后利用同圆中相等的圆心角所

【典型例题】
例1.
分析:利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式先化简,再代值求解。



说明:
(1)本题主要考查利用诱导公式化简三角函数并求值。熟记诱导公式是破解此类问题的关键。
(2)利用诱导公式主要是进行角的转化,可达到统一角的目的。

例2. 求值:



说明:
(1)本题主要考查利用诱导公式变换三角函数式并求值,特殊角三角函数值,以及正确、灵活、有条理地变换和解决问题的能力、基本的运算能力。
(2)求任意角的三角函数值时,一般步骤是“负化正、大化小、化成锐角再查表”。
变换中的得力工具是诱导公式,因此对公式的掌握要做到准确、熟练,得心应手。
(3)在同一问题中,角的单位要统一。一般是采取与题设相同的度量制度。

说明:
(1)本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式并求值,考查等价转化的能力。

“奇变偶不变,符号看象限”。
例4. 求值:



说明:
两角和与差的三角函数公式主要起到转化角的作用。在求值的过程中,特别要注意所要求值的角与特殊角(如:30o,45 o,60 o)之间的关系,还要注意互余、互补等关系。把非特殊角转化成特殊角的和差就可以正用公式求值,如(1)。用诱导公式转化,构造和差角正弦、余弦公式形式,就可以逆用公式,如(2)。

例5. 化简:

分析:逆用两角和(差)的正弦、余弦公式进行求解。


说明:

用特殊值与特殊角的关系运用和差角正弦、余弦公式化简。
<2>本例(2)的解法体现了角变换和整体思想,此题也可以直接运用和差角正弦、余弦公式展开化简。

【模拟试题】
一. 选择题:




二. 填空题:
9. ______________
10. ______________
11. 在则三角形的形状为______________。
12. 求值: ______________
三. 解答题:
13. 若 的值。
14. 化简:




【试题答案】
1. C 2. B 3. A 4. B(提示:由
5. B 6. B 7. C(提示: ) 8. B(提示:平方相加)


12. 0



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