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幂函数、指数函数和对数函数·函数概念

教学目标

1.使学生理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则.

2.使学生掌握函数的表示法并学会列函数的解析式.

3.使学生学会求函数的定义域.

教学重点与难点

教学重点是函数的定义及其表示法.

教学难点理解函数的定义和概念.

教学过程设计

一、复习与引入函数的概念

师:我们在初中学过函数,请同学们回忆一下,我们学过哪些函数.

生:正比例函数  y=kxk0).

一次函数  y=kx+bk0).

二次函数  y=ax2+bx+ca0).

师:那么什么叫函数呢?

(让学生回忆,同时老师打出投影片.)

初中学过的函数定义:

在某变化过程中,有两个变量xy,如果对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,x叫自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做值域.

师:我们分析这个定义,可以看出,函数是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系,自变量x在自己的取值范围内取定一个值,y就由这种制约关系确定出一个与x对应的函数值.这种制约关系,实际上是一种对应关系.一般地,设AB是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射.哪一位同学能从映射的角度给函数重新下一个定义呢?

(学生讨论.教师引导学生叙述准确)

AB都是非空的数的集合,那么,称从AB的映射fAB为函数,记作

y=fx

其中xAyB,原象集合A叫做函数fx)的定义域,象

师:我们分析函数的两个定义.这两个定义本质上是一致的,两个定义中的定义域、值域的意义完全相同,两个定义中的对应法则实际上也是一样的,但两个定义叙述的出发点不同,我们把初中所学定义叫传统定义,把高中新学的定义叫近代定义.可以看出,传统定义是从运动变化的观点出发,其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来.近代定义则是从集合、对应的观点出发,其中的对应法则将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来.传统定义用变量的观点描述函数比较生动、直观,但对有些函数用传统定义解释比较勉强,如市区公共汽车票价与乘车所走的站数是一种函数关系:y=0.5(元)(x=123,…,20),但用近代定义解释就很方便,A={1234,…,20}(假设每路公共汽车走20站),B={0.5元,1}f:不论乘坐几站,上车就是0.5元.fAB是一个函数关系.看起来,近代定义更具有一般性.

二、函数的表示法

师:我们已经明确了函数的定义,那么怎样表示一个函数呢?请看例子.

练习本单价为0.7元,买练习本的本数x与付款款额y的函数关系如何表示?

生甲:我画一个表格.(学生口述时,老师板演.)

x

1

2

3

4

5

y

0.7

1.4

2.1

2.8

3.5

师:列表格的方法很直观地反映了练习本的本数与付款款额的关系.但这种表示方法一般不完整,如我要买100本练习本,需付的款额表中就没有.还可以用什么方式表示呢?

生乙:我用一个数学式子y=0.7x表示.

师:这个表示法叫解析法,它严谨、完整,但不够直观.另外,描绘函数的图象,也可以直观、形象地表示一个函数.(板书以下内容)

函数的表示法:

1.解析法 用一个等式表示出xy的关系.

2.列表法 用表格表示出xy的对应关系.

3.图象法 以表格中的数对(xy)为点的坐标描绘出能反映xy的对应关系的曲线.

函数的三种表示法各有所长,各有所短,我们要根据具体情况,恰当地选择方法来表示所要研究的函数.

1  某西瓜摊卖西瓜,6斤以下每斤4角,6斤以上每斤6角.请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系.

  用解析法.这个函数的解析表示式应分两种情况:当0x6时,y=0.4x;当6x时,y=0.6x

师:这种函数叫分段函数,我们可以用

来表示.请一位学生画出这个函数的图象。

请问这个函数关系是否能用列表法表示呢?不方便.因为西瓜重量的等级太多,列表不宜列全.

请同学们自己构造一个函数,再设法表示出来.

生甲:咱们班有45名同学,每名同学都有一个确定的身高,我想把每个同学的学号当自变量,每个同学的身高当函数值,列出这种对应关系,不知行否?

师:这个问题提得好.这个问题中的自变量(学号)与变量(身高)有明确的对应关系,但这个对应关系无法用一个等式表示出来,我们采用列表法或图象法就比较简单.如:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

1.6

1.8

1.57

1.76

1.61

1.75

1.86

1.73

1.65

1.78

1.51

(以上数据由现场学生提供.)

图象法:

生乙:我提出一种函数关系,请大家表示出来.我家是楼房,楼里的电费要由两部分组成一部分是公用电,每户每月3元;另一部分是由各家的用电数的多少决定,按每个字4角计算.请表示出我家用电数x与交纳电费y的函数关系.

生丙:这个关系为y=3+0.4x.这是解析法.

生丁:我提出一种函数关系:圆的面积和圆的周长的对应关系.看看应如何表示呢?

(请同学们思考片刻.)

生甲:圆面积与周周长的直接关系不太好找,但我很容易找到圆面积与圆半径的关系,圆周长与圆半径的关系,即

S=πR2C=2πR

我以R为中间变量,间接解决SC的关系可否?

师,这位学生想得很好.有不少函数关系中的自变量与函数值的对应关系不都是显而易见的,需要我们去分析、去挖掘.请大家自己写出圆面积与圆周长之间的函数关系:

这是什么函数呢?这是二次函数,不过C的取值范围是C0

师:我们要掌握函数的表示法,特别是当一个函数的对应关系可用解析法表示时,要学会列函数的解析式.

三、函数的三要素.

我们看函数定义(投影片).在函数记号y=fx)中,x是自变量,它来自非空数集Ay是与x对应的函数值,它是B中的一个元素,f是解决xy对应的对应法则.至此,我们可以看出,构成一个函数有三个要素.(板书)

函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

函数的定义域是自变量x的取值范围,它是函数的重要组成部分.如果两个函数的定义域不同,不论对应法则相同与否,都是不同的函数,如y=x2xR)与y=x2x0)是不同的两个函数.

对应法则是函数的核心.一般地,在函数y=fx)中,f代表对应法则,xf的作用下可得到y,因此,f是使对应得以实现的方法和途径,是联系xy的纽带,从而是函数的核心.f有时可用解析式来表示,有时只能用数表或图象表示.

x=a时,函数y=fx)的值fa)叫做x=a时的函数值,函数值的全体称为函数的值域.一般地,函数的定义域与对应法则确定后,函数的值域也就随之确定了.

当函数用解析法表示时,我们写出一个解析式,它的三要素就唯一确定了,其定义域通常指使解析式有意义的自变量的取值范围.如y=x2,定义域为R,对应法则是平方,值域为{y|y0}

请同学们说出下列函数的三要素

1y=2x+1

3

 

x

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

y

8

7

6

5

4

3

2

1

 

4)如图

生:

1)定义域为R,对应法则是把自变量2倍再加1,值域为R

2)定义域为R,对应法则是:x是有理数时,对应的y=1x 是无理数时,对应的y=0

3)定义域和值域都是{12345678},对应法则是,自变量与它对应的函数值之和为9

师:你们答得很好.其中第(3)小题的对应法则可以是y=9-x.第(4)小题的对应法则也可以说是过x轴上的每个点作垂线,交直线l,再过交点作x轴的平行线,交y轴于一点,这点的纵坐标就是x的对应值.

四、求函数的定义域

函数的基础是函数的定义域,研究函数的任何一条性质,都离不开函数的定义域.

如何求函数的定义域呢?我们应注意以下三点:

1.使y=fx)的解析式有意义;

2.使函数所反映的实际问题有意义;

3.注意人为因素的限制.

请同学思考怎样使函数的解析式有意义呢?

生:分式应注意分母不等于零,根式应注意偶次方根下被开方式不小于零.

请同学求出下列函数的定义域.

2S=πr2r为圆半径).

3y=2x-12y5).

  1)函数的定义域应满足

{x|x-1x3}

2S=πr2从解析式有意义上考虑无任何限制,但由于r为圆半径,半径是非负量,所以r0,因此定义域为{r|r0}

3)这个函数有人为限制.由于2y5,所以22x-15

注意:

1.如果一个函数需要几条限制时,那么定义域为各限制所得x的范围的交集.

2.定义域是一个集合,请大家用集合作答.下节课还要讲用区间表示数集的方法,定义域用区间表示有时显得非常简捷.

3.随着今后的学习,自变量x的取值范围还可能受到一些新的限制.如对数函数,三角函数等.

五、总结

今天讲的内容非常重要,我们要落实以下几点.

1.函数的定义:设AB是非空数集,映射fAB定义一个函数,即y=fx),xAyBA为函数的定义域,f是对应法则,B包含值域.

2.函数有三种表示方法:解析法,列表法,图象法.

3.函数的三要素:定义域A={x|y=fx};值域{y|y=fx),xA}y=fx)中的f为对应法则.定义域为函数的基础,对应法则为函数的核心.

4.求函数的定义域要注意:使解析式有意义;使实际问题有意义;使人为限制得以满足.

六、作业(抄投影片)

1.某种钉子,每只15分,买x只钉子的钱数是y元,请列出xy的函数关系式,并画出函数的图象.

2.邮寄包裹,每千克重的包裹收邮资费 2元,邮程超过100km以后,每增加1km加收2角,求邮资与包裹所走的千米数的函数关系.

3.请同学记录一周的天气预报,列出日最高气温与日期的函数关系.

4.求下列函数的定义域.

答案

1y=0.15x.图象略.

3.略.

4.(1{x|x3x-1|}

2{x|x1x-3}

3{x|2x5}

4{x|2x5}

课堂教学设计说明

1.在函数的两个定义中,传统定义是以变量的概念为基础的,它生动形象易于学生接受,所以初中采用了这个定义.近代定义是以集合和映射为基础的,把函数看成数集到数集的映射,突出自变量与函数值之间的对应关系,用近代定义解释各种各样的函数都很方便.

2.函数是抽象性很强的概念,为使学生比较容易地理解这一概念,我多次使用学生比较熟悉的生活中的实例来解释和理解函数的概念,同时也请同学自编一些函数题目,并把自己所编的函数题目解答清楚,这样可使抽象的问题具体化.

3.函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事,我们设计函数课的教学过程必须由浅入深,使学生在不断地学习中加深对函数概念的理解,教师不可能做到一步到位,要给学生一个逐步加深认识的过程.

4.函数的思想是一种重要的数学思想,它体现了运动变化和对立统一的观点,体现了数形结合等数学思想方法,教师始终要培养学生函数的思想.


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