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幂函数、指数函数和对数函数·函数的奇偶性

教学目标

1.从形与数两个方面进行引导,使学生理解函数奇偶性的慨念.

2.通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想方法.

3.培养学生从特殊到一般的概括能力.

教学重点与难点

函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定.

教学过程设计

师:同学们,“对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.让我们看看下列各函数有什么共性?

(幻灯.翻折片.)

观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性(图1).

生:函数fx=x2是定义域为全体实数的抛物线;函数fx

的两支曲线,各函数之间的共性为图象关于y轴对称.

师:那么究竟什么叫关于y轴对称?

生:从初中所学的轴对称概念可知,如果图形FF′关于y轴对称,那么把图形F沿y轴折过来,一定与图形F′重合.

师:(幻灯演示)将fx=x2y轴右侧的图象,沿y轴折过来,我们发现它与左侧的图象重合了,这说明我们刚才的观察结果是正确的.既然图形是由点组成的,那么,让我们在直角坐标系中,观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系?

(幻灯演示)我们在函数fx=x2位于y轴右侧的图象上任取一点(xfx)),通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点(x′,fx′)).同学们由图象观察一下,这两个点的坐标有什么关系?

生:x=-x′,fx=fx′).也就是说,当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等.

师:看来具备此种特征的函数还有很多,我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢?

生:如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f-x=fx),那么函数fx)就叫做偶函数.

(当学生的表述不完整,不准确时,教师可做适当的提示和补充.)

师:下面我们来分析一下这个定义.定义中“任意一个xD,都有f-x=fx)成立”说明了什么?

生:这说明f-x)与fx)都有意义,即-xx同时属于定义域,因此偶函数的定义域是关于原点对称的.

师:定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件?

生:定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件.

师:那么定义的实质是什么呢?同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义.

生:当自变量任取两个互为相反数的值时,对应的函数值恰好相等.

师:下面我们看几个习题.

(幻灯)

1.判断下列函数是否是偶函数.

1fx=x2x[-12]

生:函数fx=x2x[-12]不是偶函数.因为它的定义域关于原点不对称.

1},并不关于原点对称.

(对于本题,学生很容易提取分子中的公因式x2,进而化简成fx=x2,从而得出该函数是偶函数的错误结论.)

(多重复合幻灯)

2.判断下列图象(图2)是否是偶函数的图象?

师:首先,我们取几对相反数检验一下(复片1).当自变量取±1这对相反数时,对应的函数值f1)与f-1)恰好相等;当自变量取±3这对相反数时,对应的函数值f3)与f-3)也恰好相等;当自变量取±4时,也得到了相同的结果.类似的相反数还可以举出很多对.由此,是否就能判断该图象是偶函数的图象呢?

(有的学生认为能判断,有的学生认为不能,当学生发表完

意见后,教师总结.)

师:当自变量取±2这对相反数时,我们观察到f2)与f-2)并不相等,这就违背了偶函数定义中,自变量取值的任意性,即不能使函数定义域内的任意一个x,都有f-x=fx),所以该图象不是偶函数的图象.

同学们,让我们再来观察一组函数的图象,看看它们之间有什么共性?

(幻灯.旋转片)

观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

生:各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称.

师:那么究竟什么叫做关于原点对称呢?

生:从初中所学的中心对称概念可知,所谓图形FF′关于原点对称,就是把图形F在它们所在平面上绕着原点旋转180°,一定能与图形F′重合.

师:(幻灯演示)将fx=x3在第一象限内的图象,绕着原点旋转180°,我们发现它与fx=x3在第三象限内的图象重合了.这说明我们刚才的观察结果是正确的.那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢?

生:一对关于原点对称的点,它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.即:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数.

师:我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢?

生:如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f-x=-fx),那么函数fx)就叫做奇函数.

师:定义中“任意一个xD,都有f-x=fx)成立”说明了什么?

生:这说明f-x)与fx)都有意义,即-xx同时属于定义域,因此奇函数的定义域是关于原点对称的.

师:由此可见,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.那么这个定义的实质是什么呢?

生:当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时,对应的函数值也互为相反数.

师:我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数,既非奇非偶的函数,那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢?

生:有.函数fx=0xR就是一个.

师:那么这样的函数有多少个呢?

生:只有函数fx=0xR一个.

师:再想一想.函数的三要素是什么呢?

生:函数的三要素是对应法则、定义域和值域.

师:对.可见三要素不同的函数就是不同的函数.

生:既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个.虽然解析式都为fx=0,但取关于原点对称的不同的定义域,就可得到不同的函数,例如:fx=0x[-3-1][13]fx=0x[-5-2][-2-5]等等.

师:所以函数按奇偶性可分为四类:奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数.

1  判断下列函数的奇偶性:

1fx=lg4+x+lg4-x);

分析:先验证函数定义域的对称性,再考察f-x)是否等于fx)或-fx).

  1fx)的定义域是{x|4+x04-x0}={x|-4x4},它具有对称性.

因为

f-x=lg4-x+lg4+x=fx),

所以fx)是偶函数,不是奇函数.

2)解法一:当x0时,-x0,于是

x0时,-x0,于是

综上可知,在R-R+上,gx)是奇函数.

gx)在R-R+上是奇函数.

2  Fx)是定义在R上的奇函数,且当x0时,Fx)的解析式是ex,求Fx)在R上的表达式.

  任取x∈(-∞,0),设Pxy)是函数Fx)图象上的一个点.由于Fx)是奇函数,所以,其图象关于原点对称(图5).因此P′(-x-y)必然也是Fx)图象上的一个点.由于-x0,此时P′(-x-y)必满足解析式y=ex,即

-y=e-xy=-e-x

上式就是点Pxy)的坐标满足的关系式,即x0Fx)的解析式.

x=0时,F-0=-F0),即F0=0.所以奇函数

(今后遇到函数奇偶性这类的问题时,要善于选择恰当的方法,“定义法”是基本方法.)

练习(幻灯)  判断下列函数的奇偶性,并说明理由.

1fx=x2+3x[-1020]

2fx=x3+xx[-22);

3fx=0x[-6-2][26]

5fx=|x-2|+|x+2|

6fx=|x-2|-|x+2|

7fx=5

生:1fx=x2+3x[-1020]的定义域关于原点不对称,因此是非奇非偶函数.

2fx=x3+xx[-22)的定义域关于原点也不对称,因此是非奇非偶函数.

3fx=0x[-6-2][26]是既奇且偶函数.这是因为f-x=fx)且f-x=-fx),定义域关于原点也对称,所以是既奇且偶函数.

定义域关于原点也对称,所以是奇函数.

5fx=|x-2|+|x+2|是偶函数.这是因为f-x=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=fx),且xR,所以是偶函数.

6fx=|x-2|-|x+2|是奇函数.这是因为f-x=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-|x-2|-|x+2|=-fx),且xR,所以是奇函数.

7fx=5是偶函数.这是因为f-x=5=fx),且xR,所以是偶函数.

R,所以是奇函数.

师:函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质,注意要与函数的单调性加以区分.我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上,还应加以理解,定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件.

作业

课本P52练习第2题,P59习题五第8910题.其中第10题加一问“为什么?”

补充题:

1.设fx)在R上是奇函数,当x0时,fx=x1-x).试问:当x0时,fx)的表达式是什么?

(解  x0时,-x0,所以f-x=-x1+x).又因为fx)是奇函数,所以fx=-f-x=-[-x1+x]=x1+x).)

2.若奇函数fx)在[37]上是增函数且最小值为5,那么fx)在[-7-3]上是 [    ]

A.增函数且最小值为-5

B.增函数且最大值为-5

C.减函数且最小值为-5

D.减函数且最大值为-5

(答  B.)

课堂教学设计说明

我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性,也可以根据一个函数的图象关于原点或y轴对称的特征来判断它的奇偶性.反过来,我们若已知一个函数的奇偶性,也可以推断它在整个定义域内的图象和性质.可见,在“函数的奇偶性”这一节中,“数”与“形”有着密切的联系.所以,我没有一上来就给出定义,而先给出一组图形,让学生们在观察中寻找它们的共性,目的是让学生先有个直观上的认识.为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述,先提示学生图形是由点组成的,找出其间的关系后,再提示学生“具备此种特征的函数还有很多,我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢?”然后,引导学生表述定义,目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力.最后,通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解.


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