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幂函数、指数函数和对数函数·指数函数

教学目标

1.通过教学,使学生掌握指数函数的定义,会画指数函数的图象,掌握指数函数的性质.

2.通过例题,使学生学会利用函数的性质,比较两个数的大小的方法,从而加深学生对函数性质的理解.

3.通过教学,使学生进一步了解学习一种新的函数的基本方法.

4.通过函数的图象,让学生观察归纳函数的性质,提高学生画图、看图、用图的能力,提高学生观察归纳的能力.

教学重点与难点

教学重点是指数函数的定义,图象及性质.难点是弄清底数a对于函数值变化的影响,区分a10a1时,函数值变化的不同情况.能应用函数的性质解决问题.

教学过程设计

师:首先我们回忆关于零指数、负指数、分数指数幂的意义及其运算性质.

师:要注意字母的允许值范围.a0=1a0),零的零次幂没有

幂的意义.那么它们的运算性质呢?

生:am·an=am+nam÷an=am-n;(amn=amn;(abn=anbn.其中mn为有理数.

师:请同学们回忆,什么是幂函数?

生:函数y=xα叫做幂函数.其中x是自变量,α是常数.

师:幂函数是我们在高中所学的第一个函数.今天我们再学习一种新的函数.请同学们先考虑以下问题:

1  某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数yx的函数关系是什么?

生:yx的函数关系是y=2x

2  一种放射性物质随着时间而不断衰减.已知它经过一年剩留的质量约是原来的84%,请问:若有1克这种放射性物质,经过x年,剩留的质量yx的函数关系是什么?

师:经过1年,剩留量y=1×84=0.84;经过2年,y=0.84×0.84=0.842.经过x年呢?

生:经过x年,剩留量y=0.84x

师:以上两例中所涉及到的函数里,指数是自变量,底数分别为20.84.它们与幂函数不同的是:自变量x出现在指数位置上,而底数是一个大于零且不等于1的常数.我们称这样的函数为指数函数、由此得到:

定义:函数y=ax叫做指数函数,其中a是一个大于零且不等于1的常量.

对这个定义我们要说明两点:

1)当a0x是无理数时,ax是一个确定的实数,对于无理指数幂,过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用.有关概念和定理证明在课本中从略.由于指数已经扩充到有理数和无理数,所以在底数大于零的前提下,x可以是任意实数,因此指数函数的定义域是全体实数集R

2)为什么要规定底数a大于零且不等于1呢?请同学们思考一下.

生:若a=0,当x=0时,ax无意义.

师:还有吗?

生:若x0时,axa=0)无意义.

师:好.

请同学们再考虑a0的情形.

师:好.当a0,且x是分母为偶数的既约分数时,在实数范围内函数值ax不存在.

如果a=1,则y=1x=1是一个常量.对它也没有研究的必要.

根据上述原因,我们规定指数函数y=ax中的底数a0a1

同幂函数一样,下边我们根据函数的解析式描绘指数函数的图象.我们考虑几个特殊的指数函数的图象.

师:画函数图象都有哪些方法呢?

生:描点法与图象变换法.

师:对.当我们学习一种新的基本初等函数时,都是采用描点法画出其函数图象.在画图时,首先要列出xy的对应值表,然后用描点法画出图象.

在列表时,要考虑函数的定义域.因为xR,所以y=2x中可取x=

y=10x,当x=23时,y=1001000,画起来就不方便了.但是点取

请同学们计算与x对应的y值.列表如下.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=2x

1

2

4

8

 

x

-1

0

1

y=10x

0.1

0.32

0.56

1

1.78

3.16

10

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

8

4

2

1

 

 

根据上表,在同一坐标系里,作函数图象.

师:我们画出了三个具有代表性的指数函数图象.现在我们根据这些图象,观察分析指数函数图象的特征,从而得到指数函数的性质.请同学们先观察这三个函数图象有哪些共同的特点.

生:图象都在x轴的上方.

师:由此可以说明指数函数具有什么性质呢?

生:函数值y0

师:很好.从图象上看,曲线都在x轴的上方,并且向下与x轴无限地接近,所以函数的值域y=ax0.继续观察还有什么共同的特点?

生:图象都过一个点.

师:这个点的坐标是什么?

生:(01).

师:这说明什么呢?

生:当x=0时,y=1

师:对.在指数函数中,当 x=0时,y=ax=a0=1a0a1).现在我们再观察这三个函数图象中有哪些不同的特点呢?

图象是下降的.

师:很好.对于指数函数,当a=210,即a1时,函数在定义

-∞,+∞)上是减函数.再继续观察还有什么特征?

生:……

师:在图象上画一条直线y=1

生:当底数是210时,在第一象限,图象都在直线y=1的上边,

师:图象在直线y=1的上边,说明了什么?图象在直线y=1的下边,且在x轴的上边,又说明了什么呢?

生:图象在直线y=1的上边.说明y1;在直线y=1的下边且在x轴的上边,说明0y1

师:对.由此我们可以得出:当a=210,即a1时,若x0

;若x0,则y1

我们通过观察图象的特征,将结论归纳如下:

   

 

y=axa1

y=ax0a1

     

     

1y=ax0

2)当x=0时,y=ax=1

3)当x0时,ax1

x0时,0ax1

3)当x0时,0ax1

x0时,ax1

4)在(-∞,+∞)上是增函数.

4)在(-∞,+∞)上是减函数.

 

师:根据上述结论,我们知道指数函数的图象及性质应视a10a1两种情形而不同,这是指数函数至关重要的一个特点.因此,今后我们在研究指数函数的问题时,要特别注意它们底数的取值范围,从而得到相应的结论,以达到解决问题的目的.

2  比较下列各题中两个值的大小.

11.72.51.73

20.8-0.10.8-0.2

师:请同学们观察(1)中两个数的底数和指数的特点.

生:这两个数的底数是相同的,指数不同.

师:根据这一特点,如何比较这两个数的大小呢?

生:可根据函数y=1.7x是增函数的性质来比较大小.

师:对.针对这两个数的底数都是1.7,我们构造一个函数y=1.7x,利用这个函数在(-∞,+∞)上是增函数.只要比较自变量2.53的大小,即可比出1.72.51.73的大小.请一名同学写出解题过程.

生:(板书).

 因为函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数,且

2.53

所以

1.72.51.73

师:非常好.要求同学们按照这样的格式写出作业答案.下面请同学比较第(2)组两个数的大小,请同学回答.

生:因为函数y=0.8x在(-∞,+∞)上是减函数,又

-0.1-0.2

所以

0.8-0.10.8-0.2

师:当我们比较两个数的大小时,若这两个数的底数相同,而指数不同,则可以构造一个指数函数,当底数a1,函数在定义域内是增函数;当底数0a1,函数在定义域内是减函数,再比较自变量的大小,利用函数单调性,即可比出函数值的大小,我们把这种方法简称为“函数法”.

3  比较下列各题中两个数值的大小.

10.8-0.34.9-0.1

20.90.30.70.4

师:请同学们观察(1)中两个数的特点,它们与例2中两个数的区别是什么?

生:例2中每组数的底数都相同,指数不同,而这道题目中的两个数底数、指数都不相同.

师:例31)中两个数的底数、指数都不相同,不便于利用指数函数的单调性直接比较大小,那么,请同学们仔细观察分析一下这两个数有什么特点.

生:在0.8-0.3中,因为底数0.8∈(0.1),而指数-0.30,由指数函数的第三个性质可知0.8-0.31

4.9-0.1中,因为底数4.91,而指数-0.10,也可由指数函数的第三个性质知4.9-0.11.因此0.8-0.34.9-0.1

师:非常好.这组数是根据指数函数中第三条性质,由底数与指数的范围,判断出一个数比1大,而另一个数比1小,由此得出结论.那么请同学们继续观察(2)中两个数值有什么特点,如何判断它们的大小.

生:在0.90.3中,00.910.30,由指数函数性质知0.90.31;在0.70.4中,00.710.40,因此0.70.41

师:两个数都小于1,能否比较出0.90.30.70.4两个数的大小吗?

生:不能.

师:(1)中两个数,一个比1大,一个比1小,即1在这两个数之间,我们才能比较出两个数的大小.(2)中两个数都比1小,即1不在这两个数之间,因此就不能判断这两个数的大小.那么能不能找到一个数,介于0.90.30.70.4之间呢?

生:可以取0.70.3

师:请你比较一下.

生:因为函数y=x0.3[0+∞)上是增函数.

师:这是个什么函数呢?

生:幂函数.

师:好.请继续说.

生:且0.90.7,所以0.90.30.70.3.又因函数y=0.7x在(-∞,+∞)上是减函数,且0.30.4,所以0.70.30.70.4.故0.90.30.70.4

师:非常好.他另选了一个数0.70.3,使得0.90.3比它大,而0.70.4比它小,从而比较出这两个数的大小.在比较0.90.30.70.3时,利用了幂函数在第一象限的单调性,这两个数的指数相同,而底数不同;在比较0.70.30.70.4时,利用了指数函数在定义域上的单调性,这两个数的底数相同,而指数不同.这一技巧同学们要注意.

还有什么不同的选取方法吗?

生:可以取0.90.4

师:请你简述一下.

生:考察0.90.30.90.4,可根据指数函数y=0.9x在(-∞,+∞)上是减函数,判断知:0.90.30.90.4;考察0.90.40.70.4,可根据幂函数y=x0.4[0+∞)上是增函数,判断知:0.90.40.70.4

因此得:0.90.30.70.4

师:很好.由例3中的两组数比大小可以看到:要比较两个数ac的大小,可在ac之间选取适当的数b,如果abcb,那么ac;如果abcb,那么ac.选取这样的数b不是唯一的,我们把这种方法简称为“中间量”法.当我们要比较两个数的大小时,可根据数的不同特点,采取不同的方法.

练习  请同学们口答下列问题:

1.指出下列各个幂中,哪个大于1?哪个小于1?哪个等于1?并简述理由.

2.指出下列各题中mn的大小,并说明理由.

11.4m1.4n;(2m1.4n1.4;(30.6m0.6n;(4m-0.6n-0.6

生:因为指数函数y=1.4x在(-∞,+∞)上是增函数,且1.4m1.4n,所以mn

生:因为幂函数y=x1.4[0+∞)上是增函数,且m1.4n1.4,所以mn

生:因为指数函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是减函数,且0.6m0.6n,所以mn

生:因为幂函数y=x-0.6[0+∞)上是减函数,且m-0.6n-0.6,所以mn

师:今天的课就讲到这里,最后我们重温这节课所学的内容.

生:今天讲了什么是指数函数(复述).

师:指数函数的定义,我们是通过两个实例引入的,说明它是来自于实践,而又用于实践.掌握定义要注意:

1)它与幂函数的区别,幂函数的底数是自变量;指数函数的指数是自变量;

2)指数函数的定义域是R

3)指数函数的底数a0a1

数的图象,并根据图象观察归纳了指数函数的性质,请同学回答指数函数的性质.

生:(复述性质)……

师:对上述性质,要求同学们必须熟练掌握应用,但不要求死记硬背.函数图象是研究函数的直观工具,利用图象便于记忆函数的性质和变化规律,因此大家脑子里要有图,能够数形结合,会画图,会看图,会用图,这样才能提高对函数思想方法的认识,并利用它来解决问题.例2、例3都是利用函数性质解决问题的.“函数法”、“中间量法”都是比较两个数的大小的常用方法,要求掌握.

作业:课本P7012题.

师:作业题1是作图题,作两个指数函数的图象.这样我们共画了五个指数函数图象,请同学们比较这五个函数图象.下节课,我们共同讨论结果.

(答案:

1)底数是互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

2)当底数大于1时,底数越大的图象越靠近y轴;当底数大于0且小于1时,底数越小的图象越靠近y轴.)

补充题:

1.比较下列各题中两个数的大小.

15.10.90.30.2;(20.71.30.8-0.1

33.30.73.40.3;(40.62.40.72.3

(答案:(1)>;(2)<;(3)<;(4)<.)

2.已知0.9a1x=aay=ax,试比较axy的大小.

(提示:因为0.9a1,所以函数y=ax是减函数,又0a1,所以a1aaa0=1,即ax1.故aaaxa,即xya.)

课堂教学设计说明

1.本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的.由实例引入定义,再根据定义并利用描点法画出函数图象,通过图象得到函数的性质.学生在学习函数时,往往感到比较困难、抽象,不易理解和掌握.要让学生掌握学习函数的一般规律,再继续学习新的函数,学生就能顺理成章,而不会产生无所适从的感觉.

2.本节的容量较大,为了提高效率,可采用现代化教学手段,利用投影仪或电脑.在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后,将得到的结论直接投影出来,课上的引例、例题、练习题、作业题也都可投影出来.但要注意一定要体现过程教学.比如画函数图象,不要一下就把图象投影出来,这样不利于学生掌握图象的画法,既使用了投影仪或电脑,也要将建立坐标系(要强调三要素)、描点、用光滑曲线将这些点连接起来的整个过程展现出来.又如函数性质的教学,一定先让学生观察图象,分析特点.从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识.例题的解答也要让学生去分析,发现解法.这样有利于学生尽快掌握函数的性质,掌握比较两个数大小的方法,让学生在观察的过程中,发现的过程中,解决问题的过程中,建立起学好函数、学好数学的信心.


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