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幂函数、指数函数和对数函数·对数函数·教案

教学目标

1.使学生掌握对数函数的定义,会画对数函数的图象,掌握对数函数的性质.

2.通过对数函数与指数函数互为反函数的教学,学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解.

3.通过比较、对照的方法,学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质,认识两个函数的内在联系,提高学生对函数思想方法的认识和应用意识.

教学重点与难点

教学重点是对数函数的定义、图象及性质.难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系,利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质.

教学过程设计

师:在新课开始前,我们先复习一些有关概念.什么叫对数?

生:若ab=N,则数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a为底数,N是真数.

师:各个字母的取值范围呢?

生:a0a1N0bR

师:这个定义也为我们提供了指数式化对数式,对数式化指数式的方法.请将bp=M化成对数式.

生:bp=M化为对数式是logbM=p

师:请将logca=q化为指数式.

生:logca=q化为指数式是cq=a

师;什么是指数函数?它有哪些性质?

(生回答指数函数定义及性质.)

师:请大家回忆如何求一个函数的反函数?

生:(1)先求原来函数的定义域和值域;(2)把函数式y=fx

x与之对应,此反函数可记作x=f-1y);(3)把x=f-1y)改写成y=f-1x),并写出反函数的定义域.

师:好.为什么求一个函数的反函数时,要先求出这个函数的定义域和值域呢?

生:求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域,而原来函数的值域就是其反函数的定义域.

师:很好.原来函数的定义域和值域,就是其反函数的值域和定义域.根据前面复习的求反函数的方法,请同学们求函数y=axa0a1)的反函数.

生:函数y=axa0a1)的定义域xR,值域y∈(0+∞).将指数式y=ax化为对数式x=logay,所以函数y=axa0a1)的反函数为y=logaxx0).

师:今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数,它是指数函数的反函数.

定义  函数y=logaxa0a1)叫做对数函数.

因为对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数,所以要说明以下两点:

1)对于底数a,同样必须满足a0a1的条件.

2)指数函数的定义域为R,值域为R+.根据反函数性质可知:对数函数的定义域为R+,值域为R

同指数函数一样,在学习了函数定义之后,我们要画函数的图象.应该如何画对数函数的图象呢?

生:用描点法画图.

师:对.我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式,列表、描点画图.再考虑一下,我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢?

生:因为对数函数是指数函数的反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称.因此,只要画出指数函数的图象,就可利用图象的对称性画出对数函数的图象.

师:非常好.我们画对数函数图象,即可用描点法,也可用图象变换法.下边我们就利用这两种方法画对数函数图象.

方法一  (描点法)

首先列出xy值的对应表.因为对数函数的定义域为x0,因此可取x=1234,…,请计算对应的y值.

生:y=log21=0y=log22=1y=log23=1.59y=log24=2

师:我们在分析对数函数值域时知yR.由上面所说的x值计算

x

1

2

3

4

y=log2x

-3

-2

-1

0

1

1.59

2

 

x

1

2

3

10

 

y=lgx

-1

-0.70

0

0.30

0.48

1

 

x

1

2

3

4

3

2

1

0

-1

-1.59

-2

 

方法二  (图象变换法)

师:我们讲函数与其反函数的图象关系时,说明了

点(ab)关于直线y=x的对称点的坐标是什么?

生:是点(ba).

关于直线y=x的对称点为(ba)的方法描点,即可画出y=log2xy=lgx

师:由于对数函数是指数函数的反函数,指数函数图象分a10a1两类,因此对数函数图象也分a10a1两类.现在我们观察对数函数图象,并对照指数函数性质来分析对数函数的性质.

生:对数函数的图象都在y轴右侧,说明x0

生:函数图象都过(10)点,说明x=1时,y=0

师:对.这从直观上体现了对数式的真数大于01的对数是0的事实.请继续分析.

生:当底数是210时,若x1,则y0,若x1,则y

师:对.由此可归纳得到:当底数a1时,若x1,则y0;若0x1,则y0,反之亦然.当底数0a1时,看x1,则y0;若0x1,则y0,反之亦然.这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系.再继续分析.

生:当底数a1时,对数函数在(0+∞)上递增;当底数0a1时,对数函数在(0+∞)上递减.

师:好.下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表.

 

解析式

y=axa0a1

y=logaxa0a1

定义域

-∞,+∞)

0+∞)

 

0+∞)

-∞,+∞)

函数值变化情况

a1时,

a1时,

0a1时,

0a1时,

单调性

a1时,ax是增函数;

a1时,logax是增函数;

0a1时,ax是减函数

0a1时,logax是减函数.

图象

y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称

 

师:今天我们所要讲的有关概念就讲完了,现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念.

2  求下列函数的定义域:

生:(1)因为x20,所以x0,即y=logax2的定义域是(-∞,0)∪(0+∞).

生:(2)因为4-x0,所以x4,即y=loga4-x)的定义域是(-∞,4).

师:在这个函数的解析式中,不仅有对数式,还有二次根式,因此要求定义域,既要真数大于0,还要被开方数大于或等于0,从而得到不等式组,这个不等式组如何解,问题出在log0.53x-1)≥0上,怎么办?

生:把0看作log0.51,即log0.53x-1)≥log0.51,因为00.51,所以此函数是减函数,所以

3x-11

师:对.他是利用了对数函数的单调性.还有别的说法吗?

生:因为底数00.51,而log0.53x-1)≥0,所以

3x-11

师:对.他是利用了对数函数的第三条性质,根据函数值的范围,判断了真数的范围,因此只要解03x-11,即可得出函数定义域.

3  比较下列各组中两个数的大小:

1log23log23.5;(2log0.71.6log0.71.8

师:请同学们观察这两组数中两个数的特征,想一想应如何比较这两个数的大小.

生:这两组数都是对数.每组中的对数式的底数相同,而真数不同,因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小.

师:对.针对(1)中两个数的底数都是2,我们构造函数y=log2x,利用这个函数在(0+∞)是单调递增的,通过比较真数的大小来决定对数的大小.请一名同学写出解题过程.

生:(板书)

解:因为函数y=log2x在(0+∞)上是增函数,又因033.5,所以

log23log23.5

师:好.请同学简答(2)中两个数的比较过程.并说明理由.

生:因为函数y=log0.7x在(0+∞)上是减函数,又因01.61.8,所以

log0.71.6log0.71.8

师:对.上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小.当两个对数式的底数相同时,我们构造对数函数.对于a1的对数函数在定义域内是增函数;对于0a1的对数函数在定义域内是减函数.只要比较真数的大小,即可得到函数值的大小.

4  比较下列各组中两个数的大小:

1log0.34log0.20.7;(2log23log32

师:这两组数都是对数,但它们的底数与真数都不相同,不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小.请大家仔细观察各组中两个数的特点,判断出它们的大小.

生:在log0.34中,因为底数00.31,且41,所以log0.340;在log0.20.7中,因为00.21,且0.71,所以log0.20.70,故log0.34log0.20.7

师:很好.根据对数函数性质,当底数0a1时,若x1,则y0;若0x1,则y0.由此可以判定这两个数中,一个比零大,另一个比零小,从而比较出两个数的大小,这是采用了“中间量法”.请比较第(2)组两个数的大小.

生:在log23中,底数21,真数31,所以log230;在log32中,底数31,真数21,所以log320,…

师:根据对数性质可判断:log23log32都比零大.怎么办?

生:因为log231log321,所以log23log32

师:很好.这是根据对数函数的单调性得到的,事实上,log23log22=1log32log33=1,这里利用了底数的对数为1,即log22=log33=1,从而判断出一个数大于1,而另一个数小于1,由此比较出两个数的大小.

请同学们口答下列问题:

练习1  求下列函数的反函数:

1y=3xxR);

2y=0.7xxR);

3y=log5xx0);

4y=log0.6xx0).

 

生:y=3xxR)的反函数是y=log3xx0).

生:y=0.7xxR)的反函数是y=log0.7xx0).

生:y=log5xx0)的反函数是y=5xxR).

生:y=log0.6xx0)的反函数是y=0.6xxR).

练习2  指出下列各对数中,哪个大于零?哪个小于零?哪个等于零?并简述理由.

生:在log50.1中,因为510.11,所以log50.10

生:在log27中,因为2171,所以log270

生:在log0.60.1中,因为0.610.11,所以log0.60.10

生:在log0.43中,因为0.4131,所以log0.430

练习3  用“<”号连接下列各数:

0.32log20.320.3

生:由指数函数性质可知00.32120.31,由对数函数性质可知log20.30,所以log20.30.3220.3

师:现在我们将这节课的内容小结一下,本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质,请同学回答对数函数的定义及性质.

生:(复述)……

师:对数函数的定义,我们是通过求指数函数的反函数而得到的,从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系,对于对数函数的图象及性质,都可以利用指数函数的图象及性质得到.对于对数函数的性质,可以利用对数函数图象记忆,也可以对照指数函数的性质记忆.

对于函数的定义域,除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外,还应要求对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.如果函数中同时出现几种情况,就要全部考虑进去,求它们共同作用的结果.

3、例4都是利用对数函数的性质,通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子.

作业:课本P94练习第123题.

师:作业题1是作图题,画法有两种,可任选其中一种画法.然后由所画出的五个函数图象进行对比分析,思考两个或两个以上对数函数图象的特征,下节课我们共同讨论.

(答案:

1)底数是互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

2)当底数a1时,底数越大的越接近x轴;当底数0a1时,底数越小的越接近x轴.)

补充题

1.求下列函数的定义域:

x-12

2.比较下列各题中两个数值的大小:

1log30.7log0.20.5

2log0.64log7.11.2

3log0.50.6log0.60.5

4log25log34

 

(答案:1.(1)(-∞,-2)∪(3+∞);(2[2+∞);(3)(-10)∪(01)∪(1+∞).

2.(1)<;(2)<;(3)<,提示:两个数与1比较;(4)>,提示:两个数与2比较.)

3.(选作)已知函数fx=log2kx2-2x+k)的定义域是一切正实数,求k的取值范围.

课堂教学设计说明

1.本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的,因此在讲授对数函数的定义、图象及性质时,要处处与指数函数对照着讲解,既可揭示指数函数与对数函数之间的内在联系.又可以旧带新,便于学生记忆掌握.

2.课本是根据互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性

用这种对称变换的方法画函数图象,可以加深和巩固学生对互为反函数的两个函数之间的关系的认识,便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照.但使用描点法画函数图象更为方便.两种画法可同时进行.分析画法之后,可以让学生自由选择画法,也可以安排某几行同学用描点法,另外几行同学用图象的对称变换画图.在黑板上让两名学生同时各用一种方法画出图象,或让学生用投影片用不同的方法画出图来,在投影仪上展示给大家看.总之,根据时间,能够把两种画法展示给学生更好.

3.为了加大课堂密度,提高45分钟课堂效率,可采用投影仪或电脑等现代化教学手段,充分利用时间,但不能用它代替学生的思维过程,要让学生有动脑、动口、动手的机会,突出学生参与过程.

4.要了解自己学生的程度,根据不同层次的教学对象制定教学方案,选择不同程度的例题和习题,注意不要让学生吃不饱,也不要太撑,要适量.


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