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角的概念的推广

教学目标

  1.理解并掌握正角、负角、零角的定义;理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角;
  2.能在0°和360°范围内,找出与此范围外每一个已知角终边相同的角,并判断其为第几象限角;能写出与任一已知角终边相同的角的集合;
  3.能树立运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念;
  4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化的观点审视事物,用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系.

教学设计示例


角的概念的推广

教学目标

  1.理解引入大于 角和负角的意义.

  2.理解并掌握正、负、零角的定义.

  3.掌握终边相同角的表示法.

  4.理解象限角的概念、意义及其表示方法.

重点难点

  1.理解并掌握正、负、零角的定义.

  2.掌握终边相同角的表示法.

教学用具

  直尺、投影仪

教学过程

1.设置情境

  设置实例(1)用扳手拧螺母(课件);(2)跳水运动员身体旋转(视频).说明旋转第二周、第三周……,则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法.

2.探索研究

1)正角、负角、零角概念

  ①一条射线由原来位置 ,绕着它的端点 ,按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角,如图中角 ;把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角,如图中的 ;射线没作任何旋转时,我们认为它这时也形成了一个角,并把这个角规定为零角,与初中所学角概念一样, ,点 分别叫该角的始边、终边、角顶点.

  ②如果把角顶点与直角坐标系原点重合,角的始边在 轴的正半轴上,这时,角的终边落在第几象限,就称这个角是第几象限角,特别地,如果角的终边落在坐标轴上,就说该角不属于任何象限,习惯上称其为轴上角

  ③我们作出 三个角,易知,它们的终边相同。还可以看出, 的终边也是与 角终边重合的,而且可以理解,与 角终边相同的角,连同 在内,可以构成一个集合,记作 .一般地,我们把所有与角 终边相同的角,连同角 在内的一切角,记成 或写成集合 形式.

2)例题分析

  【例1】在 间,找出与列列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角(1 ;(2 ;(3

解:(1)∵

    ∴与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;

  (2)∵

    ∴与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角;

  (3

  所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角.

  

  总结:草式写在草稿纸上,正的角度除以 ,按通常除去进行;负的角度除以 ,商是负数,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值.

练习:(学生板演,可用投影给题)

1)一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______

2)集合 中,各角的终边都在(     

  A 轴正半轴上,

  B 轴正半轴上,

  C 轴或 轴上,

  D 轴正半轴或 轴正半轴上

  解答:(1   2C

  【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ,并把 中适合不等式 的元素 写出来:

  (1 ;(2 ;(3

  解:(1

   * 中适合 的元素是

         

  (2

  满足条件的元素是

     

  (3

  * 中适合元素是

  

  

  

  说明:与角 终边相同的角,连同 在内可记为 这里

  (1 ;  (2 是任意角;

  (3 之间是“+”连接,如 应看做

  (4)终边相同角不一定相等,但相等的角终边必相同,终边相同的角有无数个,它们彼此相差 的整数倍;

  (5)检查两角 终边是否相同,只要看 是否为整数.

练习:(学生口答:用投影给出题)

1)请用集合表示下列各角.

  ① 间的角  ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角.

2)分别写出:

  ①终边落在 轴负半轴上的角的集合;

  ②终边落在 轴上的角的集合;

  ③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;

  ④终边落在四象限角平分线上的角的集合.

解答(1)①

    ②

    ③ ;④

  (2)①

    ②

    ③

    ④

  说明:第一象限角未必是锐角,小于 的角不一定是锐角, 间的角,根据课本约定它包括 ,但不包含

  【例3】用集合表示:

  (1)第三象限角的集合.

  (2)终边落在 轴右侧的角的集合.

  解:(1)在 中,第三象


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