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弧度制教案

教学目标

  1.使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数;
  2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系;
  3.掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题;
  4.在理解弧度制定义的基础上,领会弧度制定义的合理性;
  5.通过学习,理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辩证统一的.

教学建议

一、关于弧度制的知识结构

二、关于弧度制的重点、难点分析

  重点是理解弧度的意义,能正确地进行角度制与弧度制的换算;难点是弧度制的概念与角度的关系。

  (1)要弄清1弧度的意义。弧度制与角度制一样,只是度量角的一种方法,但由于学生有先入为主的想法,所以学起来有一定的困难,首先必须清楚1弧度的概念,它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点,一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制,而弧度制却是十进制,其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单:

  (2)两种制度的转换。利用它们的意义在弧度制下圆周角为 rad,而角度制下圆周角为 ,所以 rad ,进而得到 rad rad.

1rad

三、关于弧度制的教法建议

  1)建议教学用实例来讲述1弧度的含义,这样便于学生概念的理解;

  (2)建议在教学时,通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性;

  (3)关于弧度与角度二者的换算,教学时应抓住:

弧度 弧度

这个关键,来引导学生;

  (4)教学应注意强调在同一式中,所采用的单位必须一致;

  (5)通过例3的教学,应让学生知道,无论是利用角度制还是弧度制,都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式,但利用弧度制来推导要简单中些.

弧度制

教学目标:

  1.明确引入弧度制的必要性,理解新单位制意义.

  2.熟练掌握角度制与弧度制的换算.

教学重点:理解弧度制引入的必要性,掌握定义,能熟练地进行角度制与弧度制的互化.

教学难点:弧度制定义的理解.

教学用具:投影仪.

教学过程

1.设置情境

  在角度制下,当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进率非十进制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?本节课就来尝试选择这种新单位.

2.探索研究

1)复习角度制

  我们在平面几何中研究角的度量,当时是用度做单位来度量角, 的角是如何定义的?

  规定把周角的 作为1度的角.

  我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?

2)弧度制定义   

  我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,如图1,弧 的长等于半径 所对的圆心角 就是1弧度的角,弧度制的单位符号是 ,读作弧度.

1

   的弧度数       的弧度数

  提问:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢?

  因为半圆的弧长 ,其圆心角的弧度数是 ,同理,若弧是一个整圆,其圆心角的弧度数是

  在 的角的弧度数 必然适合不等式 ,角的概念推广后,弧的概念也随之推广,任一正角的弧度数都是一个正数.如果圆心角表示一个负角,且它以所对的弧长 ,则这个圆心角的弧度数是 ,由此我们给出弧度制的定义:一般地,可以得到:正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0;角 的弧度数的绝对值 ,其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长, 是圆的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.

  提问:为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?

  如图2,设 的角,圆弧 的长分别为 ,点 到点 的距离(即圆半径)分别为 ,由初中学过的弧长公式可得: 于是 .上式表明,以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值,由 的大小来确定,与所取的半径大小无关,仅与角的大小有关.

  因 ,可以得到 ,那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积,这个公式比采用角度制时相应公式 要简单.

3)角度制与弧度制的换算

  用“弧度”与“度”去度量每一个角时,除了零角以外,所得到的量数都是不同的,但它们既然是度量同一个角的结果,二者就可以相互换算.我们已经知识若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是 ,而在角度制里它是 ,因此 ,两边除以2

  得         等式两边同除180

  得  

  同理,把弧度换成角度.

                     

                     

                     

【例1】把 化成弧度.

解:∵

  ∴

【例2】把 化成度.

解:

同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键.

下面请大家写出一些特殊角的弧度数.

角度

 

 

   

 

弧度

   

 

   

 

按从左至右顺序其答案是:0 .今后我们用弧度制表示角的时候,“弧度”二字或“ ”通常省略不写,而只写相应的弧度数.例如:角 就表示 的角, 就表示 的角的余弦,即

4)角度制与弧度制的比较

  引进弧度制后,我们应将它与角度制进行比较,同学们应明确:①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而 是圆的 所对的圆心角(或该弧)的大小;③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.

【例3】计算:

1 ;(2

解:(1)∵       

  (2)∵

    

练习(用投影仪)

1.把下列各角化成 的形式:

  (1 ;(2

  (3

2.求右图3中公路弯道处弧 的长 (精确到 ,图中长度单位: ).                                                   

参考答案:

1.(1

  (2

  (3            

2.∵

  ∴

   

  答:弯道处 的长约为

3.练习反馈

  (1)若三角形的三个内角之比是234,求其三个内角的弧度数.

  (2)已知扇形的周长为 ,面积为 ,求扇形的中心角的弧度数.

  (3)下列终边相同的是(  ).

  A

  B

  C

  D

参考答案:(1 ; 22  3B

4.总结提炼

  (1 弧度;

  (2)“角化弧”时,将 乘以 ;“弧化角”时,将 乘以

  (3)弧长公式:

扇形面积公式: .(其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数, 为圆半径.)

课时作业

1.角集合 之间的关系为(      

  A  B   C   D.不确定

2.若角 的终边互为反向延长线,则有(     

  A     B

  C     D

3.中心角为 的扇形,它的弧长为 ,则该扇形所在圆的半径为______________

4.若 ,且 的角的终边垂直,则

5.已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦, 是此弦的中点,若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转,则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少?

6.已知一个扇形周长为 ,当扇形的中心角为多大时,它有最大面积

参考答案:1C  2D   36 4 5 6.中心角 时,


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