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研究集合{a , a ,…,a }的子集个数

指导思想:突出学生的主体地位,努力引导学生通过自我探究体验发现问题,提出问题,分析问题到解决问题的全过程。

教学目标:培养学生掌握学习方法和发展学生的创造性思维。

教学重点:引导学生观察、归纳猜想、自主创新。

教学难点:得出问题的结论。

授课班级:高一(1)班

教学过程:

1、导入:教师举一个现实生活中常见的例子,创设问题背景,引出课题

如何求集合中子集的个数。

2、举课本里的例子:写出集合{a,b}的所有子集。

学生练习,教师巡视,叫一学生板演。

提问:这是一种什么方法?答案是否完整?

解释:子集的定义以及子集的3种情况:(1)、空集;(2)、部分元素构成的集合;(3)、全部元素组成的集合(即它本身)。向学生说明本题是这样进行的:先写空集Ø,再写一元子集{a},{b},最后写二元子集{a,b}。(做到不重复、不遗漏)

这样,我们在求集合子集时,并非先找后验,而是直接写出这些子集。这意味着,从概念出发演绎了一条法则,在解题时,要使这条法则明确化。

这个法则就是列举法。

进而,教师再说明,求子集用列举法:一排序,二分类,三穷举。

3、例2:写出集合{a,b,c}的所有子集。

学生练习。按照上述的列举法,学生迅速作出解答。

{a,b,c}的子集分四类:

第一类,空集Ø;

第二类,一元子集{a},{b},{c};

第三类,二元子集{a,b},{b,c},{c,a};

第四类,三元子集{a,b,c}.

学生做完后,教师又提问:“大家看看并回答:(1)在{a,b,c}的子集中,有几个是{a,b}的子集?(2)如何利用{a,b}的子集求{a,b,c}的子集?”留充足的时间给学生探究,适时引导。

4、教师在巡视的过程中,看到学生的有趣发现:第一,在{a,b,c}的所

有子集中,有四个是{a,b}的子集,即Ø,{a},{b},{a,b},它们都不含第三个元素c;第二,{a,b,c}的另外四个子集,恰好是在{a,b}的4个子集中,分别添上第三个元素c而得到。

教师:同学们发现的是一条递推规律,即对有关自然数问题,由1到2,由2到3,…,由n到n+1的互推规律,利用这条规律,我们从{a,b,c}的子集出发,能迅速地推出{a,b,c}的所有子集。我们做题的目的在于:完成一个,弄通一片。

递推规律是一条进退规律:由低进到高(较复杂)

             由高退到低(较容易)

提问:由3退2,即用{a,b,c}的子集求{a,b}的子集,如何做?

由2退1,即用{a,b}的子集求{a}的子集?

弄清楚了退,也就弄清楚了进。

   5、由上面的过程,提出本节课要解决的问题:研究n元集合

Hn={a1 ,a2,…,an}的子集个数hn问题。

            教师引导学生大胆猜想,敢于探究。

             一元集合H1={a  }的子集个数为h =2;

               二元集合H2={a ,a  }的子集个数为h =2h  =2 2;

              三元集合H3={a ,a ,a 3}的子集个数为 h3=2h  =2 3;

            ……

            n元集合Hn={a 1 ,a 2  ,…a n }的子集个数为

h n =2hn-1=2 n 。

            从而得出结论:n元集合的子集个数为2 n.

6、.趁热打铁,再提子集分类的计数问题:H 2  的子集分三类,子集个数分别为1,2,1;H 3 的子集分为四类,子集的个数分别为1,3,3,1,问学生是否见过这样的数目?

      讨论:{a 1,a 2,a 3}的子集数与(X+Y) 3展开式的系数和,有何关系?

      先介绍一个表

  

n

Ø{a 1,a 2,…,a n}

X+Y n展开式

计算法

1

Ø{a 1}

X+Y

1+1

2

Ø{ a 1};{ a 2};{ a 1,a 2}

X 2+2XY+Y 2

1+2+1

3

Ø,{ a 1},{ a 2},{ a 3},{ a 1,a 2},

{ a 2, a 3},{ a 3, a 1},

{ a 1, a 2, a 3}

X 3+3X 2Y+3XY 2+Y 3

1

         发现规律,子集个数即为二项展开式的系数和。

         取X=Y=1,得  2=2 1=1+1

                       4=2 2=1+2+1

                       8=2 3=1+3+3+1;…

         最终推得:子集个数即为展开式系数和2 n

                 教师:同学们,一个曲折的探索过程比一个完整的结果要重要十倍。在以后的学习中,我们要大胆探索,发现新问题,解决新问题。

      7、布置思考题:我校举行第一届体艺文化节,要把操场分成若干块,问用10条直线至多把操场分成多少块?如果n条直线,结论又如何?


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